1、设 是任何维的一般旋转矩阵: 两个向量的点积在它们都被一个旋转矩阵操作之后保持不变: 从而得出旋转矩阵的逆矩阵是它的转置矩阵: 这里的 是单位矩阵。

2、 一个矩阵是旋转矩阵，当且仅当它是正交矩阵并且它的行列式是单位一。

3、正交矩阵的行列式是 ±1；如果行列式是 1，则它包含了一个反射而不是真旋转矩阵。

【资料图】

4、 旋转矩阵是正交矩阵，如果它的列向量形成 的一个正交基，就是说在任何两个列向量之间的标量积是零(正交性)而每个列向量的大小是单位一(单位向量)。

5、 任何旋转向量可以表示为斜对称矩阵 A 的指数: 这里的指数是以泰勒级数定义的而 是以矩阵乘法定义的。

6、 A 矩阵叫做旋转的“生成元”。

7、旋转矩阵的李代数是它的生成元的代数，它就是斜对称矩阵的代数。

8、生成元可以通过 M 的矩阵对数来找到。

9、 编辑本段二维空间 在二维空间中，旋转可以用一个单一的角 θ 定义。

10、作为约定，正角表示逆时针旋转。

11、把笛卡尔坐标的列向量关于原点逆时针旋转 θ 的矩阵是: cosθ -sinθ sinθ cosθ 编辑本段三维空间 在三维空间中，旋转矩阵有一个等于单位一的实特征值。

12、旋转矩阵指定关于对应的特征向量的旋转(欧拉旋转定理)。

13、如果旋转角是 θ，则旋转矩阵的另外两个(复数)特征值是 exp(iθ) 和 exp(-iθ)。

14、从而得出 3 维旋转的迹数等于 1 + 2 cos(θ)，这可用来快速的计算任何 3 维旋转的旋转角。

15、 3 维旋转矩阵的生成元是三维斜对称矩阵。

16、因为只需要三个实数来指定 3 维斜对称矩阵，得出只用三个是实数就可以指定一个3 维旋转矩阵。

17、 生成旋转矩阵的一种简单方式是把它作为三个基本旋转的序列复合。

18、关于右手笛卡尔坐标系的 x-, y- 和 z-轴的旋转分别叫做 roll, pitch 和 yaw 旋转。

19、因为这些旋转被表达为关于一个轴的旋转，它们的生成元很容易表达。

20、 绕 x-轴的旋转定义为: 这里的 θx 是 roll 角。

21、 绕 y-轴的旋转定义为: 这里的 θy 是 pitch 角。

22、 绕 z-轴的旋转定义为: 这里的 θz 是 yaw 角。

23、 在飞行动力学中，roll, pitch 和 yaw 角通常分别采用符号 γ, α, 和β；但是为了避免混淆于欧拉角这里使用符号 θx, θy 和θz。

24、 任何 3 维旋转矩阵 都可以用这三个角 θx, θy, 和θz 来刻画，并且可以表示为 roll, pitch 和 yaw 矩阵的乘积。

25、 是在 中的旋转矩阵 在 中所有旋转的集合，加上复合运算形成了旋转群 SO(3)。

26、这里讨论的矩阵接着提供了这个群的群表示。

27、更高维的情况可参见 Givens旋转。

28、 角-轴表示和四元数表示 在三维中，旋转可以通过单一的旋转角 θ 和所围绕的单位向量方向 来定义。

29、 这个旋转可以简单的以生成元来表达: 在运算于向量 r 上的时候，这等价于Rodrigues旋转公式： 角-轴表示密切关联于四元数表示。

30、依据轴和角，四元数可以给出为正规化四元数 Q: 这里的 i, j 和 k 是 Q 的三个虚部。

31、 欧拉角表示 在三维空间中，旋转可以通过三个欧拉角 (α,β,γ) 来定义。

32、有一些可能的欧拉角定义，每个都可以依据 roll, pitch 和 yaw 的复合来表达。

33、依据 "z-x-z" 欧拉角，在右手笛卡尔坐标中的旋转矩阵可表达为: 进行乘法运算生成: 因为这个旋转矩阵不可以表达为关于一个单一轴的旋转，它的生成元不能像上面例子那样简单表达出来。

34、 对称保持 SVD 表示 对旋转轴 q 和旋转角 θ，旋转矩阵 这里的 的纵列张开正交于 q 的空间而 G 是θ度 Givens 旋转。

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